快乐成长—— hfes06（1）（2）班数学博客

      本学期时间比较短，距离一段结业考试约17周，去除中间的三个小长假，实际在校学习时间为16周左右。

课本部分内容教学安排：

第六章 解决问题的策略及第七章统计

第二周 第八单元 总复习之数与代数

第三周 总复习之空间与图形

第四周 总复习之概率与统计

第五周 总复习之解决实际问题

第六周~第八周 数与代数、空间与图形、概率与统计、解决实际问题专项训练

第九周~第十五周 综合测试训练

在第九周~第十五周间，穿插增加一些数学综合实践活动课及一些趣味国外试题。

数学阅读教学安排：

每周依旧延续每周两~三次阅读交流，后期将根据学生的学情进行增减。

阅读内容安排：

1、小学生数学报六年级版间周周三交流

2、每位同学自选一本数学读物进行阅读，每周一篇阅读笔记，间周周三进行交流（阅读书目需上报书名，可以从数学图书馆借阅）

3、继续安排学生专题讲座，争取每位同学都能上台展示一次。

“妈妈，我变魔术给你看！”

昊昊拿着一根绳子在我对面坐下来。

“你看，这是一根完整的绳子，中间没有结头。”他把绳子拉直，煞有介事地向我展示。

“下面——你要仔细看！”只见他把绳子的两头并拢，小手灵巧地打了几个结，然后放开，

两手拉住绳子两端，轻轻一抖，绳结不见了！

   儿子得意地看着我，那眼神仿佛在说“我怎么样啊！”

   “不错，真的很棒！”我连忙赞美。

“我还会更复杂的呢！”

 说完，儿子两只小手又开始忙碌起来，绳子的两端不断穿来绕去，果然复杂了许多。

 不一会，一个看起来乱七八糟的线团绕成了，他抓住绳子两头轻轻一拉，呀！绳子没能成一条直线，中间打了一个结！

     他又试了几次，都不成功。于是，翻开书，对照着书中的图解，仔仔细细地一步一步穿绳子，很快就发现了问题，原来有一步穿错方向了！

解决了问题之后，昊昊成功地展示了他的高级结绳魔术。

“妈妈，你知道这利用了什么数学原理吗？”

“不知道。”我摇摇头回答道。

“这是现代几何学中的下个最年轻最富有弹性的分支——拓朴学中研究的内容之一。拓朴学研究的是几何图形经过任意不撕破、不黏合的扭曲、拉伸或收缩后，仍然保持不变的性质。”

“还有一个利用拓朴学原理最典型的例子，那就是动物园。已前的动物园都是把动物们关在笼子里，游客们全在外面；现在的野生动物园的动物们都散养着，那么大的地盘想去哪儿都行，非常自在。如此一来，游客们全都得坐在游览车上了，哈哈，关笼子里了！”

“你说这点子妙不妙？绝不绝？”

 我也笑了，儿子长大了！

　　有一天，孩子4点才背着书包回到家，到家以后,他放下书包接了杯水喝，之后他对我说： “我去写作业了，”我说：“今天有什么作业，”他说：“预习。”我说：“好吧，去写吧，”

　　他慢沉的走上楼，打开灯开始写了，最近不知他为什么一写作业就要2个多小时，我决定了，去看看。我也上楼上了，到了房间了，看到孩子正在写预习，我上去看他写的怎么样了，一看孩子正写到了新发现，可一看整个整个栏目只有几十个字，

　　我对他发火了说：“你怎么搞的。”他心里在想什么，我猜了起来,“肯定是想早早写完后去玩.”可是他竞然没反应。我也没管他了，之后我出去了，下楼了，可将近过了40分钟他还没下来。

　　我悄悄的上去看看，走到门口,之后我又打开了门，一见孩子还在写预习，他的旁边有一个大盒子，当他打开盒子时我发现里面放了一大包纸，这是什么?后来孩子写完作业了，他下楼了，我悄悄的进去了，看过盒子之后我知道了。

　　原来孩子是通过反复写预习，不合心意的就撕掉重写，只到有一篇合心意才肯放笔.

　　我想这就是孩子长大了。

　　——吴默涵数学学习侧记

　　吴默涵对数学的学习兴趣差点儿就让我们家长给“扼杀”了。刚上一年级时，我们看了学校门口奥数宣传的小广告，不甘落后地就给她报了奥数班。那些稀奇古怪的奥数题，百分之九十九的家长都是半懂不懂的，甚至是不懂装懂的，可我们偏偏爱拔苗助长，尤其是她爸爸没有耐心，一遍两遍听不懂，就冲着孩子发火，孩子经常是眼泪汪汪的学奥数，自然影响到数学的学习兴趣。

　　幸好老师有科学的、系统的教学方法，注重培养孩子的学习兴趣，完全弥补了我们家长的过失。吴默涵学习数学时一直非常认真，也非常爱上数学课，数学预习、阅读、做练习，包括准备学习的辅助工具都是一丝不苟，自觉完成，几乎不需要家长的提醒和帮助。尤其是有一次数学小组准备上课时，与小组的成员一道，确实动了很多脑筋。比如：为了不耽误课堂的宝贵时间，先把讲课重点写在大纸上（我记得写了好几遍，直到她觉得满意为止），准备上课时直接贴在黑板上，从而节省板书的时间；并且精心设计讲课内容的先后顺序，先讲什么，后讲什么，重点明确，条理清楚；同时还进行了小组分工，小组四个同学，一个主讲一个补充，两个在同学中间检查听课情况，真有了小老师的样子！看到孩子的学习积极性这么高，做家长的心里当然既高兴又放心，由衷的想对老师说声：谢谢！             

　　　　06（2）班王思劢的妈妈

　　 放暑假了,孩子也相对轻松多了，以前每天一放学回家就忙着写作业和练古筝，现在可以看电视并和我们聊天了，因为我和老公白天忙上班和做家事，只有晚上才有空一家人交流和玩耍，所以每天晚上总是听到王思劢像个小喇叭似的叽叽呱呱说不停。

　　可是今天吃过晚饭后，小喇叭怎么停电了？一直待在自己房间没声没息的，我和她老爸叫了她几次，她总是哼哼叽叽没踪影，我实在忍不住跑过去一看，她正认真仔细地剪着许多小纸条，旁边还放着一本书和一个方形的小盒子，我好奇地问她在干啥，她头也不抬地说做实验，过了好一会儿就见她已经剪好了几十张大小相同的小纸条，上面还写着各种动物的名称，她把一堆纸条放进那个小方盒子里，盖上盖子晃了晃抽出4张，看了看又放回去，又盖上小盒子的盖子晃晃又抽了4张，后来又抽十几张，反复抽抽看看，还不停地点头、大笑，弄得我一头雾水，一直追问她怎么了，她也不理，如此过了十几分钟，她放下盒子，兴奋地大叫：“书上说的真的没错！”，又兴奋地跑到她老爸那大声嚷嚷。在我们的询问下，她拿起刚才那本书得意地告诉我们：“阿顾买的《果戈尔博士数学奇遇记》特好，上面的故事都特有意思，而且不是乱盖的哟！”，原来她刚才是在验证那本书中的“跨星系的动物园”的故事。

　　现在，小喇叭又开始广播了！

　　还没下班，就接到儿子的电话："妈妈，你下班早点回来啊！"

　　"有事吗？"我问。

　　"快回来教教我，你是怎么备课的？"儿子焦急地答道。

　　"你问怎么备课干嘛啊？"

　　"我要当小老师"我听见儿子自豪地说，都能"看见"他的小胸脯挺得高高的！

　　下班回到家，听见书房里传来儿子振振有词的声音，我推门进去，看见他正站在书桌前大着嗓门边说边手舞足蹈的……

　　"妈妈，你回来正好，你说，当老师应该注意什么啊，或者说应该怎么做老师啊？"儿子问到。

　　"当老师，首先，要上的课自己先弄懂，记熟，不清楚的地方可以查找资料；其次，在上课的时候要口齿清楚，将需要讲述的内容交待详细，尽可能的让每位同学都听明白；最后，如果有同学不明白的，要耐心讲解，明白了吗？"

　　"这么复杂啊！"儿子若有所思的点点头"好啦，现在我开始备课啦，不许打扰我，等我准备好了请你试听"。

　　……

　　半个小时过去了，儿子还趴在桌前写着，画着；一个小时过去了，他依然在写着，画着，只是桌上多了几本相关的数学科普书籍，终于听见儿子在书房里喊我："妈妈，你来啊，让我先给你上一课，再给我提提意见。"他清了清嗓门，绘声绘色地讲了起来：

　　"同学们，今天上新课，题目是分数的基本性质，以前我们曾经学过分数的分子和分母同时加或减相同的数，分数的大小不变，那么分数的分子和分母同时乘或除相同的数，大小变不变呢？有同学会说，大小也不变，真的是不变么?我们来试试看，1/4这个分数，它的分子、分母同时乘以0，答案是多少呢？很显然，1/4×0＝0，显然大小变了，所以这句话应该这么说：分数的分子和分母同时乘或除相同的数（0除外），分数的大小不变，这就是分数的基本性质。在我们知道了这个基本性质之后，我们来看看约分的问题……最后提醒同学们约分的时候一定要约成最简分数"。儿子一口气说完之后，眨着眼睛看着我，显然想听听我的说法。

　　"讲得很棒啊，只是你说话的语速要再放慢一点，第一个问题和第二个问题之间最好能出几道题目让同学们做做，看看同学们有没有理解，掌握？你说妈妈说的有道理吗？"

　　"唔，有道理，让我再想想！"儿子兴致勃勃地说。

　　第二天早晨，儿子上学临出门时，和我击掌加油，高兴地对我说："妈妈，你就等着我的好消息吧，我今天一个能做个称职的小老师",看着他信心满满的样子，我也忍不住大声说："相信你，你一定行！"

　　                                                王子琛妈妈

　　六月份的时候，我终于下定决心去驾校报了名，安排在暑假期间学习驾驶。李倩茹成绩单拿到以后，我和她商量好了，让她外婆暑假期间照顾她的生活起居，我利用这段时间好好学习开车。这样，等她开学的时候，我就可以开车送她上下学了——小家伙做事情温吞吞，每晚写作业熬到半夜，特别是冬天，每天天还是黑着的时候就得半闭着眼睛爬起来刷牙洗脸赶一个多小时的公交车去上学，做母亲的看在眼里怎能不心疼？

　　暑假伊始，她向我做了保证，会安排好每天的学习进度，按时完成作业。每日归来时，看她的作业，确实也是圆圆满满地完成。

　　老师布置的任务，她都一样样重新记在她自己小小的备忘录里面，每天完成什么，完成多少，时间计划清晰分明。暑假作业里面有一项是老师布置的趣味题，我为她准备了几本相关的数学趣题方面的书籍，检查作业时我随手翻一翻，里面倒是勾勾画画做了不少标记。有的题目，她格外感兴趣的，又在旁边涂涂描描了很多自己想的题目。小丫头从小就喜欢动手，小时候橡皮泥都不知道玩掉多少，老师为她们订阅的数学课外书里面有很多有意思的东西，常常回来的时候，她都会兴致高昂地那一些自己的成品给我看。

　　数学作业里有一项是自创数学栏目，拿到老师的作业清单时，我曾经问她，你准备自创个什么栏目呀？她没有告诉我。看到她完成的作业时，我才明白，这一项作业里，她自己到处搜集了一些数学家的名人名言，汇总成一个栏目。由于新房装修在即，我们现在住的地方并没有开通网络，难怪小丫头在家里翻箱倒柜，把她自己那些课外书报纸之类的东西都翻了个遍，后来还央求别人帮她从网上找一些有意义的名言呢。

　　九年一转眼就过去，当初那个小不点，一点点长大，现在渐渐懂事。会在他爸爸喝多了酒的时候准备好解酒的蜂蜜水；会在我练车累了回来的时候为我捶捶背揉揉肩；会自己看书写字自己安排自己的事情；会像个大人一样思考。她可能不是那么完美，作业偶尔会忘记写，在学校的表现始终不够优秀，成绩单也没有能够骄傲起来的地方。可是她很刻苦，很认真，很懂事，是我的天使。

　　清晨的阳光从窗外洒了进来，不知名的鸟雀叽叽喳喳叫个不停。看样子，今天又是个好日子。忽然从外面传来唧唧咕咕熟悉的声音。咦！一向早起的儿子只会坐在那里发愣，今天怎么了？儿子在背书，我凝神一听真是，太阳打西边出来了。我赶紧起床出来一看真是儿子在拿一张纸在摇头晃脑地背什么东西。过去一问才知道原来是顾老师布置的。

　　我问：“儿子，你背什么东西？”

　　张越说：“顾老师让背的，明天要全班过关。”

　　我说：“让我看看。”

　　儿子递给我，我一看就知道怎么回事，原来是圆的面积公式答案。

　　我问：“你知道这个是什么意思吗？”

　　“不知道。”“你仔细的看看，结合你们现在上的知识想想。”

　　我启发他多想想。

　　“是不是圆的面积？”

　　“你看看22π，是不是半径为2的圆的面积？”“真的，”儿子高兴地说，

　　“是的，圆的面积公式是πR2,你看看前面每个数字是不是圆的半径，这些是圆的面积公式答案，你认真地记吧，以后在学习的时候能用上的。”

　　早上在吃饭的时候，

　　我问：“张越，背的怎样？”

　　张越自豪地说：“早就背完了，在妈妈那里都过关了。”

　　我望了望他妈妈，妈妈点了点头。

　　“好吧，等会我们在上学的路上抽查。”

　　“好”儿子胸有成竹的说。

　　在上学的路上，我故意打乱顺序抽查几个，张越立即能对答上来。

　　我问：“你怎么记得这么快?”

　　“我有秘密武器。”

　　“说来听听。”

　　“爸爸，我把2~15的圆的面积分成三段，以5、10、15为中间分开。”

　　“为什么？”

　　“因为5的平方π为78.5，10的平方π为314，15的平方π为706.5，”

　　“恩，不错。”

　　“小于5的在100以内；小于10的有一百多的有两个，两百多的有两个；小于15的在三百多、四百多、五百多、六百多各一个，这样就好记多了。”

　　“恩，不错，不错，有想法。好。”

　　我顺势想启发他，就问：“儿子，你从这件事上，你有什么想法？”

　　儿子歪着头想想说：“爸爸，我知道了，干什么事要多动脑筋，总结他的规律。”

　　“还有呢？”

　　“还有吗？”

　　“你看看，只有动起来，才有收获。”

　　“是的。”

　　总结今天的收获：

　　第一：干什么事要积极主动；

　　第二：要弄懂自己要干事情的前因后果；

　　第三：多动脑筋总结他们之间的规律。

　　“是的，我再也不懒了，多动脑筋。”

　　儿子长大了！会自己思考了。

作者：[苏]Я·И·别莱利曼

　　据传说，许多世纪以前，在古罗马发生过这样一件事：

　　大将泰伦齐奉皇帝之命，出发远征，大获全胜，带着大量战利品，凯旋回到罗马。到达后，他请求面见皇帝。

　　皇帝亲切地接见了他．热忱地感谢他对皇室的忠诚，答应在议会中给他安排高职作为奖励。

　　但泰伦齐要的不是这个，他回答说：

　　——陛下，我为了提高您的权势，使您的名字闪耀光辉，打了许多胜仗。我不怕死，即便我有多次生命，我也准备全部用来为您牺牲。可是，我打仗已打得疲倦了，青年时代过去了，血管里的血也流得慢了。到了该在我祖先留下的房子里休息一下、享受一下家庭生活的喜悦的时候了。

　　——你要我为你做些什么呢？——皇帝问。

　　——陛下，请恕臣直言。在长年的征战生活中，日复一口地用鲜血染红着我的宝剑，我还没来得及为自己筹集一笔财富。我很穷，陛下……

　　——说下去，勇敢的泰伦齐。

　　——您如愿意赐给您的忠仆以奖赏，——受到鼓励的大将继续说，——那就请用您的慷慨帮助我，让我在我的晚年在家园中平静地生活。我不追求全能的议会中的高官达位，我只想远离权位和社会生活，安静地休息。陛下，给我一些钱吧，让我过好我的余生。

　　皇帝呢，不是一个慷慨的人（据传说是这样的）。他喜欢替自己收敛钱财，对别人则很吝啬。大将的这个要求使他沉思了。

　　——泰伦齐，你认为要多少钱才够呢？他问。

　　——一百万迪那里银币。

　　皇帝又陷入了沉思。大将则低于了头等待着。

　　终于，皇帝开口了：

　　——英勇的泰伦奇，你是一名伟大的战将，你的光辉业绩理应得到最优厚的奖赏！我决定给你财富。明天中午你将在这里听到我的决定。

　　泰伦奇深深鞠躬，退了出去。

　　第二天，泰伦奇在指定时间来到了皇帝宫殿。

　　——我祝贺你，勇敢的泰伦奇：——皇帝说。

　　泰伦奇谦虚地低下了头。

　　——陛下，我是来听您的决定的。您仁慈地答应了给我奖赏。

　　皇帝回答说：　　

　　——我不愿意让象你这样高尚的战将得到太少的武功奖赏。你听我说，国库里存有５百万枚波拉斯铜币。现在注意听我说。你到国库里去，取出１枚铜币，回来放在我脚旁。第二天．你再去国库，取１枚相当于２个波拉斯的铜币　放到这里第一枚的旁边。第三天．你去取１枚值４个波拉斯的硬币，第四天取值８波拉斯的，第五天取值１６波拉斯的，如此类推．每天比前一天多加１倍。我会每天给你铸造相应价值的硬币，只要你的力气拿得动，你就可以从国库中搬回家去．但谁也无权从旁帮助。你只能用自己的力气。等到你发现再也不能多拿的时候，就停下来。咱们的协议就算结束了，但你已拿走的钱币则全部归你所有，算是对你的奖赏。

　　泰伦奇贪婪地倾听着皇帝的每一句话。他仿佛看到从国库中搬出了无数个一个比一个大的硬币。

　　——臣感谢您的恩赐，陛下！——他回答说，脸上带着兴奋的微笑。——您的奖赏真是太宽厚了。

　　泰伦奇开始每天到国库去。国库离皇帝接见宾客的宫廷不远。取硬币的头几次，没有费泰伦奇什么力气。

　　第一天，他从国库只提取了一个波拉斯。这是一个小小的硬币，直径２１毫米，重约５克。

　　这位将军第二次，第三次，第四次、第五次、第六次提取的硬币分别是第一次硬币重量的２、４、　８、１６、３２倍，这也没有什么困难。

　　第七枚硬币约合当今的３２０克，直径８．４厘米（准确地说是８４毫米）。

　　第八天，泰伦奇从国库提出的硬币已相当于第一枚硬币的１２８倍，重６４０克，宽约１０．５厘米。

　　第九天，泰伦奇捧到皇帝面前的是２５６倍重的硬币，宽１３厘米，重１．２５公斤稍多一些。

　　第十二天，硬币直径几乎达到２７厘米，重约１０．２５公斤。

　　直到这之前，皇帝一直用和蔼可亲的眼光看着这位名将，现在则已不能掩饰自己的庆幸心情。他亲眼看到，搞了整整十二天了，可是从国库里拿走的只是２，０００略多一点的硬币。

　　第十三天，人们交给泰伦奇的硬币，已相当于第４，０９６倍。宽约３４厘米，重２０．５公斤。

　　第十四天，泰伦奇从国库搬出的是４１公斤重，４２厘米宽。

　　一一你不累吗，我勇敢的泰伦奇？皇帝忍住笑问道。

　　一—不累，陛下，——愁眉不展的将军回答说，一面擦掉额头上流下的汗水。

　　第十五天了。这一回泰伦奇要搬的硬币已经很沉重了．他掮着相当原始硬币１６，３８４倍重的巨大硬币，举步艰难地一步步向皇帝跟前走去。这个硬币已经是半米以上直径（５３厘米），８０公斤重，相当于一名魁梧军人的体重了。

　　第十六天，这位将军掮着他得到的赏赐不断摇晃，这个硬币的重量已是原始硬币的３２，７６８倍，重１６４公斤，　直径达６７厘米了。

　　将军没力气了，大口地喘着气。皇帝可笑了……。

　　又过了一天。当泰伦奇在皇帝面前出现的时候，迎接他的是一阵哄笑。他已经不能用手把赐品带来，只好把它滚来了。这次硬币直径是８４厘米，重３２８公斤。它相当于原始硬币重量的６５，５３６倍。

　　第十八天是泰伦奇发财致富的最后一天。这一天结束了他再到国库把硬币送到皇帝面前的旅行。这一次他要搬运的是，相当于原始硬币重量１３１，０７２倍的大硬币。它的直径比１米还多，重６２８公斤。

　　泰伦奇用他的长矛当作杠杆，尽全力把硬币滚进了大厅。硬币轰的一声倒在皇帝脚旁。

　　泰伦奇已经受尽了折磨。

　　——我再也不行了，够了。——他嘟哝着说。

　　皇帝看到自己狡计完全成功，尽力压制着满意的欢笑。

　　他下令国库管理员计算一下，泰伦奇一共搬了多少波拉斯到接见大厅。

　　管理员执行了命令，说；

　　陛下，在您的慷慨赐予之下，常胜将军泰伦奇获得了２６２，１４３个波拉斯的奖赏。

　　于是，吝啬的皇帝赏给泰佗奇的奖赏，仅及后者申请的一百万迪那里的大约二十分之一。

　　让我们验算一下管理员的计算是否正确，同时也计算一下硬币的重量。泰伦奇取出的是：

　　第一天　　１个波拉斯　　重　　５克

　　第二天　　２个波拉斯　　重　　１０克

　　第三天　　４个波拉斯　　重　　２０克

　　第四天　　８个波拉斯　　重　　４０克

　　第五天　　１６个波拉斯　　重　　８０克

　　第六天　　３２个波拉斯　　重　　１６５克

　　第七天　　６４个波拉斯　　重　　３２０克

　　第八天　　１２８波拉斯　　重　　６４０克

　　第九天　　２５６波拉斯　　重　１公斤２８０克

　　第十天　　５１２波拉斯　　重　２公斤５６０克

　　第十一天　　１０２４波拉斯　　重　５公斤１２０克

　　第十二天　　２０４８波拉斯　　重　１０公斤２４０克

　　第十三天　　４０９６波拉斯　　重　２０公斤４８０克

　　第个四天　　８１９２波拉斯　　重　４０公斤９６０克

　　第十五天　１６３８４波拉靳　　重　８１公斤９２０克

　　第十六天　３２７６８波拉斯　　重１６３公斤８４０克

　　第十七天　６５５３６波拉斯　　重３２７公斤６８０克

　　第个八天　１３１０７２波拉斯　　重６６５公斤３６０克

　　让我告诉你怎样简单地计算这个级数的和，第二栏（波拉斯数）的总和是２６２，１４３，这是根据已有的规则算出的。泰伦奇请求皇帝赐给他一百万迪那里，即５百万波拉斯。因此，他得到的只是他请求的

　　２６２１４３／５００００００＝１／１９。

　　‘爱卿，你所求的并不多啊。”国王说道，心里为自己对这样一件奇妙的发明赏赐的许诺不致破费太多而暗喜。“你当然会如愿以偿的，”国王命令如数付给达依尔。

　　计数麦粒的工作开始了，第一格内放１粒，第二格内放２粒第三格内放２’粒，…还没有到第二十格，一袋麦子已经空了。一袋又一袋的麦子被扛到国王面前来。但是，麦粒数一格接一格飞快增长着，国王很快就看出，即便拿全印度的粮食，也兑现不了他对达依尔的诺言。

　　原来，所需麦粒总数

　　１＋２＋２＾２＋２＾３＋２＾４＋……＋２＾６３＝２＾６４－１
　　＝１８４４６７４４０７３７０９５５１６１５。

　　这些麦子究竟有多少？打个比方，如果造一个仓库来放这些麦子，仓库高４公尺，宽１０公尺，那么仓库的长度就等于地球到太阳的距离的两倍。而要生产这么多的麦子，全世界要两千年。尽管印度舍罕王非常富有，但要这样多的麦子他是怎么也拿不出来的。这么一来，舍罕王就欠了宰相好大一笔债。要么是忍受达依尔没完没了的讨债，要么是干脆砍掉他的脑袋。结果究竟如何，可惜史书上没有记载。

　　从这个故事中，不难看出，印度古代对等比级数已有相当的研究。

　　类似印度“国际象棋发明人的报酬”问题还出现在别的国度。十八世纪初期，俄国马格尼茨的《算术》一书中的“卖马’问题，就与“国际象棋发明人的报酬”相类似，有异曲同工之妙。　

　　“卖马”原题如下：

　　某人卖马一匹，得钱１５６卢布。但是买主买到马以后又懊悔了，要把马退还给卖主，他说这匹马根本不值这么多钱。于是卖主向买主提出了另一种计算马价的方案说，如果你嫌马太贵了，那末就只买马蹄上的钉子好了，马就算白送给你。每个马蹄铁上有６枚钉子，第一枚钉子只卖１／４个戈比（１卢布等于１００戈比），第二枚卖半个戈比，第三枚一个戈比，后面每个钉子价格依此类椎。买主认为钉子的价值总共也花不了１０个卢布，还能白得一匹好马，于是就欣然同意丁。结果买主算账后才明白上当。试问买主在这笔交易中要亏损多少？

　　太阳系有九大行尾。从里往外数，最外面的三颗依次是：天王星，海王星和冥王星。因为这三颗行星离地球太远，不容易看到，所以发现得较迟。

　　1781年，英国天文学家赫歇耳，用望远镜发现了天王星。19世纪，人们在对天王星进行观测时， 发现它的运行总是不大“守规矩’，老是偏离预先计算好的轨道。到1845年，已偏离有2分的角度了。这到底是什么原因呢?数学家贝塞尔和一些天文学家设想，在天王星的外侧，一定还存在一颗行星，由于它的引力，才扰乱了天王星的运行。可是，天涯无际，到那儿去寻找这颗新的行星呢?

　　1843年，英国剑桥大学22岁的学生亚当斯， 根据力学原理，利用微积分等数学工具，足足用了10个月的时间，终于算出这颗未知行星的位置。这年10月21日．他兴高彩烈地把算出的结果寄给英国格林威治天文台台长艾利。不料，这位台长是一个迷信权威的人，根本看不起亚当斯这样的“小人物”，对他采取不理不睬的态度。

　　比亚当斯稍晚，法国巴黎天文台青年数学家勒维列于]845年解了由几十个方程组成的方程组，于1848年8月31日计算出这颗新行星的轨道。他于这一年9月18日写信给当时拥有详细星图的柏林天文台的工作人员加勒， 对他说，“请你把望远镜对准黄道上的宝瓶星座，即经度326度的地方，那么你将在离此点1度左右的区域内见到一颗九等星。’(肉眼所能见到的最弱的星是六等星)加勒在9月23日接到了勒维烈的信，当夜他就按照勒维列指定的位置观察，果然在半小时内，找到一颗以前没有见过的星，距勒维列计算的位置相差只有52'。经过24小时的连续观察，他发现这颗星在恒星间移动着，的确是一颗行星。所有天文学家经过一段时间的讨论，都公认它便是太阳系的第八颗大行星，并根据希腊神话的故事，把它命名为海王星。这就是人类用笔头最早计算出的行星。

　　1915年，美国天文学家洛韦耳，用同样的方法算出了太阳系中最远的一颗行星——冥王星的存在。1930年， 美国的汤波真的发现了这颗行星。

　　海王星，冥王星首先是由笔头计算出来的。但这并不是说，数学理论可以脱离实际，随心所欲地去驾驭实际。事实上，海王星、冥王星是客观存在的，它们的运行轨道也是客观存在的，数学在这里不过是超前一步发现了这个规律，从而促使人们通过观察证实这个规律罢了。

各位家长朋友：

你们好！转眼间孩子们进入了四年级的数学课程学习，在这个学期数学学科将完成一册半的教学任务（具体教学计划详见班级学科网站“快乐成长”）。

这学期，数学学科需要家长了解和关注以下几件事：

一、              每周至少翻阅一次孩子的各项作业本（A本、聪明预习本、聪明阅读本、练习与测试），了解孩子的学习进度，发现孩子的问题及时督促其纠正。

二、              《练习与测试》上的错题要督促孩子每日及时按要求订正，书写要工整，错题不能积累。最近检查作业时，老是有部分孩子订正不认真或不订正。（练习与测试的订正要求和试卷的订正要求详见“快乐成长”博客）

三、              为了让家长能够更清楚地了解孩子的在校表现和数学学科的学情，每日作业完成情况反馈及单元测验情况都在学科学情反馈博客“努力向前冲”上发布。作业未完成或订正未完成或未带的同学，学生及家长要在博客上说明原因。

四、              为了培养学生的自育能力，学情反馈博客内容多数为学生负责发布，目前的科代表日志将在后期变为学科日志，由班级同学轮流撰写发布。

五、              本学期，数学阅读课的上课形式将有所变化。在保留原来的教学方式外，将组织学生上台进行数学阅读方面的专题讲座，采用自荐申报制，目前已经有部分同学申报，具体情况将在“努力向前冲”上及时发布。

六、              数学阅读书目《小学数学补充读本》五上、《趣味百科图典》，交流内容都是提前一周布置，家长要提醒孩子把阅读时间安排好，阅读要充分，06（1）（2）周三周四交流阅读。阅读要求：《小学数学补充读本》要求写读后感并完成书上习题，遇到困难的或看不懂的部分可以在书中做标记；《趣味百科图典》要求写读后感和新发现，遇到疑问引导孩子查阅资料丰富阅读。在教学中发现，数学阅读能力越弱，数学学习就越显弱势。

最后，希望在我们的共同关注下，孩子们能够数学学科和能力上得到更好的发展。

                                                       顾老师

二〇〇九年九月十五日

1、平时的《练习与测试》直接贴练习本的纸，写清楚题号后直接分析错因和完整订正错题。

填空、判断题要抄题，应用题不抄题，直接写算式和答。

运用方格中作图的题目，直接用“田字格”纸画出正确的即可。

（其中填空题、判断题、选择题分析时要写出得到答案的分析过程）

（练习与测试订正时，无需再抄错题）

2、单元试卷订正时，要在“病题诊所”先抄原题、再分析错因、最后完整订正，并要写简单的考试后的感想和分析。

以上做法的目的：

一是为了让孩子们自我反思的学习习惯，真正清楚自己的具体“错点”；

二是孩子在单元整理复习时，只要看看自己的错题本就可以很清楚的提醒自己在本单元需要注意哪些问题；

三是可以根据孩子的错题本，有针对性的帮助孩子补缺，巩固所学，无需做大量的试题。

实施效果：

      练习与测试贴纸进行进一周以来，大部分孩子订正都很认真，但有些孩子订正时又错了，希望认真读题后，再次订正。

老师的话：

     凡是错题认真订正、认真分析错因的同学，测验和平时的错题量远远小于随便订正、简单用“我粗心”来概括错因的同学。

     希望我们的同学认真对待你的诊所的“病例”，认真用心“诊疗”，这样你们的学习能力和水平才能更进一步的提高！

亲爱的同学们：

     新学期即将开始，我们又踏上了新的征程。本学期数学课需准备的学习用品如下：

     六年级上册练习与测试

    六年级上册口算练习册

    一枝红笔

    套尺、圆规

    课堂练习本一本

0、1、2游玩记（28）——山洞探险III

跨越分数桥，寻找数6

0、1、2、3、4、5、小数点打开盒子，里面装着一个金元宝。

歇了一会儿后，他们继续往前走，来到了一座桥前。

    桥头竖着一块牌子：

勇士们：

把金元宝放下，还要回答三个问题：

1、☆表示一种新的运算，并且规定a☆b=2a+3b,那么（3☆4）☆5=（ ）
2、某工人与老板签订了一份30天的劳务合同：工作一天可得报酬48元，休息一天则要从所得报酬中扣掉12元。该工人合同到期后并没有拿到报酬，则他工作了（ ）天。

3.一位农民养了9只羊、7口猪、5头牛。论价格，2只羊可换一口猪，5只羊可换1头牛。他要把这些牛、羊、猪分给3个儿子，不但每人分得的家畜头数要相同，而且价值也要相等。你能想出一个分配方案吗？

3说：“第2题，是鸡兔同笼。假设全部工作，得30*48=1440元。差1440-0=1440（元），钱差48+12=60（元）。工作了1440/60=24（天）。”

误进黑魔洞(25集)

     0他们认为打倒了这个强手后,可以放松放松了。谁知，就在他们觉得自我放任的时候，却不知不觉的误进了黑魔洞……

     他们进了黑魔洞,继续往前走。突然，他们发现了一个奇特的瓶子，缕缕青烟从瓶口冒出，不一会儿，有个怪物在他们眼前忽隐忽现，好像在说：“你们要答对我一个问题，才可以出去。”

     0仔细端详了那个怪物，他的体型是那么大，足足是他们的3、4倍，张牙舞爪。于是，他们只好无奈地答应了。

     “痛快！我问你们：某海港货场不断有外洋轮船卸下物品，又不断用汽车把货物运走。如果用9辆汽车，12小时可以清场。如果用8辆汽车，16小时可以清场。该场开始只用了3辆汽车，10小时后增加了若干辆，再过4小时就已清场，那么后来增加的汽车是多少辆？请尽快说出答案。”怪物恶狠狠地说。

    差不多半个小时过去了，数字们还在苦思冥想……

走出黑魔洞(26集)

    这时,0兴奋地说:“我知道了！我知道了！”其他的数字们也在一旁高兴的手舞足蹈，催他快说出答案。

    0说：“首先，设：每辆汽车每小时运货为1，那么，

    8辆汽车16小时运货量是：8×16=128

    9辆汽车12小时运货量是：9×12=108

    外洋轮船每小时卸货量是：（128-108）÷（16-12）=5

    货场原有货物量是9×12-5×12=48

    3辆汽车运10小时后还有货量是：48+（5-3）×10=68

    所以，增加的汽车数量是：（68+5×4）÷4-3=19（辆）

    你要让我们过去了吧，伙计。”

    没办法，怪物只好退进了魔瓶里，0他们终于离开了黑魔洞。

    数字们接着向前走，突然，他们被一个身穿黑衣的人用龙卷风卷进了大型的飞船中……

对战马利可（27集）

    0他们被抓到大型飞船上之后，他们万万没想到对手是3000年前的古埃及人——马利可。

    就在这时，马利可手上拿的宝物发出了刺眼的光芒，他恶化的一面出现了…

    马利可凶狠狠地说道：“你们一定是和我黑暗灵魂大王作对的人，今天，是你们的死期。”

    “那挑战开始吧。”1在一边胸有成竹地说。

    “好！我出题，如果你们答出来，我就投降。如你们答不出来，哼哼！你们自己知道后果。我的题目是：绕湖一周是20千米，甲乙两人从湖边某一地点同时出发反向而行，甲以4千米每小时的速度，每走1小时休息5分钟，乙以6千米每小时的速度每走50分钟后休息10分钟，则两人从出发到第一次相遇时用了多少分钟？”

    数字们都开始搅尽脑汁的在想。突然，5大声地喊出来“两人的速度和是4+6= 10km /小时，因为两人途中要休息，所以相遇的时间一定超过2小时。

操纵光明灵石（28集）

    马利可被数字们打倒了之后，不得不投降他们。

    在黑暗地带里，究极数学魔王正在操纵自己手里的光明灵石，他准备把光明灵石里的灵气完全变成邪气。突然，五位黑衣人出现在数学魔王身后，只听他们异口同声地说：“大王！有何吩咐？”

    “谁让你们出来的，退回去！”究极魔王一声吼到。

    不一会儿，又只听究极魔王命令其中一人说：“龙皇魔人，消灭数字他们吧！”

    “是！”龙王魔人说完便不见了。

    究极又把剩下四位叫了过来，对他们说：“听说你们平时水平不错，你们谁要能答出光明灵石提出的问题，我重重有赏。”

    光明灵石说：“好！你们几个给我听好了：鸡和兔共有100条腿，共有32只，问鸡兔各有几只？”

    题目刚说完，就有一位黑衣人说：“我知道，这是鸡兔同笼问题。如果你们全当是鸡，那么鸡是两只脚，说明32×2﹤100，那么我们用100-32×2，因为兔的四只脚比鸡的两只脚的差是2，所以，我们只要在中间加一个除号就行了，也就是：（100-32×2）÷（4-2）=18（只）

    我们全按鸡计算的，所以18只是兔子。”

    光明灵石咬牙切齿地说：“很好！再见！”一溜烟便不见了……

战龙皇魔人(29集)

    究极数学魔王说：“可恶！差一点就成功了，你们这群混帐，快滚下去。”

    “是！”四位黑衣人胆怯地说。

    此时，龙皇魔人也来到了数字们面前恶狠狠地说：“你们是一个一个的来呢，还是一起来出题给我做，如我做出来，哼！你们就要小心，如我输了，我就死在你们面前。”

    “好！一言为定！”5说。

    “那开始吧！”

    数字们把出题的机会让给了1，1不客气地说：“我问你

    是真分数还是假分数，如是假分数怎样化成带分数？”龙皇魔人一听此题吓出了一身冷汗，因为他从来没见过这种类型的题，他颤抖而低声地说：“我输了，请你们告诉我答案，好让我死得瞑目。”

    “好！我告诉你吧，要换成带分数必须要用1068÷182=5……158,余数小于除数,就不要除了,说明答案是

    也就是五又一百八十二分之一百五十八。”说完，龙皇魔人便爆成了灰烬……

　　0、1、2游玩记（25）——买彩票

　　0、1、2、3、4、5、小数点过了一会正常的生活，又开始不安分了。

　　原来，自从他们家有了电视，上面经常播放买彩票的新闻，0和1开始想，我们生活清贫，要是能中奖该多好呀！从此，彩票销售店经常出没他们的身影。

　　可是，幸运之星总是难以降到他们头上。

　　2见他们失望的表情，劝导说：“不要再买了，再买只会越陷越深！如果容易中，彩票销售商就不要生活了。”

　　0问：“为什么呢？”

　　3插了一句：“中1亿元只有1/1000000000000的几率。奖额越少几率越大。还是不要买了吧！”

　　0说：“可是，我想研究经过研究后再买。”

　　1说：“这次我们去买号，最好张张都买，肯定中奖。

　　“可是，那下的钱比中的钱还多，岂不是赔本了吗？”4抢着说。

　　0说：“那这样的话，我们就不干这种事了，好不好？”

　　“对，生活需要努力，而不是靠买彩票，碰运气。靠一夜之间就能成百万富翁的几率非常小。那样的话，只能赔的‘底朝天’”5说。

　　从此，0、1、2、3、4、5、小数点再也不提这事了，他们把攒下来的钱投入商业当中，生活过得既美好，又充实。

　0、1、2游玩记（26）——山洞探险I——进入山洞，掉入陷阱

　　0、1、2、3、4、5、小数点感觉非常寂寞。这天，4提议：“各位，我们去公园玩玩吧！”

　　2积极响应：“好的，咱们去吧！”

　　公园的景色真美啊！天空湛蓝，草丰林茂，河水清澈，游人如织。0、1、2、3、4、5、小数点唱着笑着，不知不觉中来到了一个名字叫“鬼谷”的洞口。

　　0、3、4最喜欢冒险，便齐声说：“进去看看吧！”

　　山洞的入口被一扇石门挡住了，小数点仔细看，原来上面刻着一行字：

　　13=（）+（）+（）+（）

　　=（）+（）+（）

　　=（）+（）

　　=（）

　　其中，（）内必须填质数。

　　3见了，笑着说：“这不简单

　　13=（2）+（2）+（2）+（5）

　　=（1）+（5）+（7）

　　=（2）+（11）

　　=（13）”

　　但是石门没有打开，从上方的孔中，射出许多暗箭。0、1、2、3、4、5、小数点吓得连连后退。

　　射完后，0检查了一下哪里有问题，当看到“=（1）+（5）+（7）”这一行时，说：“1不是质数。”说完，把题目改成了：

　　13=（2）+（2）+（2）+（5）

　　=（3）+（5）+（5）

　　=（2）+（11）

　　=（13）”

　　石门缓缓打开了，0、1、2、3、4、5、小数点进去了。但就在这一时刻，门又关上了。

　　0、1、2他们往前走，出现了一支蜡烛，照亮了墙壁上的字：

　　亲爱的7位人士，请站在地上的7个圆圈里，然后填写墙上的题目：

　　几个桃子？

　　猴王分桃子，猴王拿一些桃子分给36只猴子，每碰到一只猴子，猴王就将所有桃子的一半给它，每只猴子也都还它一个桃子，最后猴王还剩下2个桃子，那么猴王原来有多少只桃？

　　相传古印度有一老人，临死前把三个儿子叫到跟前，嘱咐说："我不行了，快要见真主去了，没有别的东西留给你们，只有19头牛，你们分了吧。老大分总数 的二分之一，老二分总数的四分之一，老三分总数的五分之一。"说完不久他就咽了气，到"真主"哪儿报到去了。遵照父亲的遗嘱，怎样分才好呢？

　　5填道：(2-1)*2=2  (2-1)*2=2

　　那么，他原来就有2只桃子。

　　可是第二题，5不会算，就瞎填一通。结果，随着一声惨叫，0、1、2、3、4、5、小数点掉入了陷阱。

      同学们很快就要进入四年级的课程学习了，下学期在校学习时间有五个

月之多，在这学期里我们将学习六年级上册和下册的内容，具体教学计划如

下：

　四年级上学期教学安排

　　9.1~9.4           交流假期作业 六年级上册 第一单元 方程

　　9.7~9.11         第一单元 方程 第二单元 长方体和正方体

　　9.14~9.18       第二单元 长方体和正方体

　　9.21~9.30       第三单元 分数乘法

　　10.1~10.7       国庆放假

　　10.8~10.16     第四单元 分数除法

　　10.19~10.23   第五单元 认识比

　　10.26~10.30   第六单元 分数四则混合运算

　　11.2~11.6      第七单元 解决问题的策略 第八单元可能性

　　11.9~11.13    第九单元 认识百分数

　　11.16~11.20  第九单元 认识百分数

　　11.23~11.27  第十单元 整理与复习

　　11.30~12.4    六年级下册 第一单元 百分数的应用

　　12.7~12.11    第一单元 百分数的应用 第二单元 圆柱和圆锥

　　12.14~12.18  第二单元 圆柱和圆锥

　　12.21~12.25  第三单元 比例

　　12.28~12.31  第三单元 比例 第四单元 确定位置

　　1.1~1.3        元旦放假

　　1.4~1.8        第五单元 正比例和反比例

　　1.11~1.15     第六单元 统计

　　1.18~1.22     总复习

　　1.25~1.29     总复习  期末考试

　　2.1~2.5        准备放寒假

　 “千僖难题”之一：Ｐ（多项式算法）问题对ＮＰ（非多项式算法）问题　

　　在一个周六的晚上，你参加了一个盛大的晚会。由于感到局促不安，你想知道这一大厅中是否有你已经认识的人。你的主人向你提议说，你一定认识那位正在甜点盘附近角落的女士罗丝。不费一秒钟，你就能向那里扫视，并且发现你的主人是正确的。然而，如果没有这样的暗示，你就必须环顾整个大厅，一个个地审视每一个人，看是否有你认识的人。生成问题的一个解通常比验证一个给定的解时间花费要多得多。这是这种一般现象的一个例子。与此类似的是，如果某人告诉你，数１３，７１７，４２１可以写成两个较小的数的乘积，你可能不知道是否应该相信他，但是如果他告诉你它可以因子分解为３６０７乘上３８０３，那么你就可以用一个袖珍计算器容易验证这是对的。不管我们编写程序是否灵巧，判定一个答案是可以很快利用内部知识来验证，还是没有这样的提示而需要花费大量时间来求解，被看作逻辑和计算机科学中最突出的问题之一。它是斯蒂文·考克（ＳｔｅｐｈｅｎＣｏｏｋ）于１９７１年陈述的。　　　

　 “千僖难题”之二： 霍奇(Hodge)猜想

　　二十世纪的数学家们发现了研究复杂对象的形状的强有力的办法。基本想法是问在怎样的程度上，我们可以把给定对象的形状通过把维数不断增加的简单几何营造块粘合在一起来形成。这种技巧是变得如此有用，使得它可以用许多不同的方式来推广；最终导至一些强有力的工具，使数学家在对他们研究中所遇到的形形色色的对象进行分类时取得巨大的进展。不幸的是，在这一推广中，程序的几何出发点变得模糊起来。在某种意义下，必须加上某些没有任何几何解释的部件。霍奇猜想断言，对于所谓射影代数簇这种特别完美的空间类型来说，称作霍奇闭链的部件实际上是称作代数闭链的几何部件的(有理线性)组合。　　

　 “千僖难题”之三： 庞加莱(Poincare)猜想

　　如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点。另一方面，如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上，那么不扯断橡皮带或者轮胎面，是没有办法把它收缩到一点的。我们说，苹果表面是“单连通的”，而轮胎面不是。大约在一百年以前，庞加莱已经知道，二维球面本质上可由单连通性来刻画，他提出三维球面(四维空间中与原点有单位距离的点的全体)的对应问题。这个问题立即变得无比困难，从那时起，数学家们就在为此奋斗。　　

　 “千僖难题”之四： 黎曼(Riemann)假设

　　有些数具有不能表示为两个更小的数的乘积的特殊性质，例如，2,3,5,7,等等。这样的数称为素数；它们在纯数学及其应用中都起着重要作用。在所有自然数中，这种素数的分布并不遵循任何有规则的模式；然而，德国数学家黎曼(1826~1866)观察到，素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼蔡塔函数z(s$的性态。著名的黎曼假设断言，方程z(s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。这点已经对于开始的1,500,000,000个解验证过。证明它对于每一个有意义的解都成立将为围绕素数分布的许多奥秘带来光明。　　

　 “千僖难题”之五： 杨－米尔斯(Yang-Mills)存在性和质量缺口

　　量子物理的定律是以经典力学的牛顿定律对宏观世界的方式对基本粒子世界成立的。大约半个世纪以前，杨振宁和米尔斯发现，量子物理揭示了在基本粒子物理与几何对象的数学之间的令人注目的关系。基于杨－米尔斯方程的预言已经在如下的全世界范围内的实验室中所履行的高能实验中得到证实：布罗克哈文、斯坦福、欧洲粒子物理研究所和筑波。尽管如此，他们的既描述重粒子、又在数学上严格的方程没有已知的解。特别是，被大多数物理学家所确认、并且在他们的对于“夸克”的不可见性的解释中应用的“质量缺口”假设，从来没有得到一个数学上令人满意的证实。在这一问题上的进展需要在物理上和数学上两方面引进根本上的新观念。　　

　 “千僖难题”之六： 纳维叶－斯托克斯(Navier-Stokes)方程的存在性与光滑性

　　起伏的波浪跟随着我们的正在湖中蜿蜒穿梭的小船，湍急的气流跟随着我们的现代喷气式飞机的飞行。数学家和物理学家深信，无论是微风还是湍流，都可以通过理解纳维叶－斯托克斯方程的解，来对它们进行解释和预言。虽然这些方程是19世纪写下的，我们对它们的理解仍然极少。挑战在于对数学理论作出实质性的进展，使我们能解开隐藏在纳维叶－斯托克斯方程中的奥秘。

　 “千僖难题”之七： 贝赫(Birch)和斯维讷通－戴尔(Swinnerton-Dyer)猜想

　　数学家总是被诸如x^2+y^2=z^2那样的代数方程的所有整数解的刻画问题着迷。欧几里德曾经对这一方程给出完全的解答，但是对于更为复杂的方程，这就变得极为困难。事实上，正如马蒂雅谢维奇(Yu.V.Matiyasevich)指出，希尔伯特第十问题是不可解的，即，不存在一般的方法来确定这样的方法是否有一个整数解。当解是一个阿贝尔簇的点时，贝赫和斯维讷通－戴尔猜想认为，有理点的群的大小与一个有关的蔡塔函数z(s)在点s=1附近的性态。特别是，这个有趣的猜想认为，如果z(1)等于0,那么存在无限多个有理点(解)，相反，如果z(1)不等于0,那么只存在有限多个这样的点

　　保罗是无穷旅社的新职员，他的职责是为客人找到房间。当他傍晚上班时发现所有房间都已经客满，这时又新进来一位有预定单的客人，他想了一下，为新客人找到了房间。

　　不料，此时一部载有无数个客人的无穷汽车开到。试问，他该怎么办。

　　"在戴尔街和金街交叉处的一个公用话亭，"传来的是本恩的微弱的回答，"从你那儿往南走四个街段，往东走几个街段！"

　　伯特看了一下钟，喊道："你现在就开始走，我们在半路上碰面！"他砰地一声放下电话。而只是在这个时候他才意识到自己刚才太快挂了电话，没讲清楚互相怎么走法。

　　实际上，在两个交叉点之间恰好有70种不同走法的线路，而且线路之间的选择跟距离没有什么关系。

　　那么，你怎么理解本恩话中"几个"的意思呢？

　　本恩查看了一下回答道：“正好五枚。怎么啦？”　

　　“想知道吗？我想我们来一次小小的赌博游戏怎么样？”汉克一边说一边开始分牌，“规定这样的：第一局输的人，输掉他钱的五分之一；第二局输的人，输掉他那时拥有的四分之一；而第三局输的人，则须支付他当时拥有的三分之一。”　

　　于是他们玩了，并且互相间准确付了钱。第三局本恩输了，付完钱后他站起来声明说：“我觉得这种游戏投入的精力过多，回报太少。直到现在我们之间的钱数，总共也只相差七美分。”　

　　这自然是很小的赌博，因为他们合起来一共也只有７５美分的赌本。　

　　试问，在游戏开始的时候汉克有多少钱呢？

　　“准备带三个女孩乘车游览！”比尔答道。　

　　教授笑了：“原来如此！敢问三位佳丽芳龄几许？”　

　　比尔思考片刻说：“把她们年龄乘在一起得到２４５０，可她们年龄和恰是您年龄的两倍”。　

　　教授摇了摇头说：“非常灵巧，但对她们的年龄仍然有疑问。”　

　　比尔还在那里，他补充道：“是的，我忘了提起，我的年龄至少要比那个岁数最大的小一岁。”而这使得一切都变得清楚了！　

　　当然，教授是知道他朋友的年龄的，请问，你能算出他们的年龄吗？

　　“我很富有，”迈切尔回答说，他对自己的一切都感到满足，“在爱尔兰像我这样的一块地你是找不到的，它正好三边而不是四边，而且每边都相等。牛只需要吃一半的青草而无须更多。在地的一个角落有一根桩，系着一根栓牛的绳子，刚好够长。地上长满了青草，为牛提供了充足的活动空间。我们很快乐！”他微笑着说，“我觉得足够了，而且自由自在！”　

　　那么，请你告诉我，拴牛的系绳有多长？

　　很快，包括贝蒂在内的五个职员都来到他跟前，不知出了什么事。但老板很快使他们轻松起来。杰克告诉他们：“我想你们一定很高兴知道，我在克莱蒙的交易最后赢利了，这里有一笔２６０美元的奖金，在你们之间分配，作个意思。”　

　　贝蒂想自己职位较低，“也许轮不上我”这令人沮丧的念头，刺伤了她的心。　

　　但令人满意的是，杰克继续说道：“我已经算出了你们跟我工作的完整的年限，并按这个比例发放奖金，但允许男人比女孩每年多得一半。”他一边说，一边递给每人一个信封。突发的感激，使雇员们显得有些局促不安。　

　　这对他们来说确是一种好运气！　

　　已知他们工作的完整年限分别是２，３，５，６和７年。请你算出在杰克的职员中女性有几人？

　　“我看不会比你更糟，”他妻子确信地信，“怎么啦？”　

　　鲍勃淡淡地笑了笑，“他们四个人整天都在给我打电话，”他告诉她，“我得去解开这个谜结。他们一个个都互相拿错了别人的大衣和另一个人的帽子。”　

　　“你到家的时候我就觉得有点不对劲，”贝蒂笑道，“继续讲你这个伤心的故事吧！”　

　　“好吧，我分头说：乔拿走了一个家伙的大衣，而那个家伙的帽子又被史蒂夫拿走；史蒂夫的大衣是被另一个人拿走的，而那个人又拿走了乔的帽子。”　

　　“那么罗恩又怎么样呢？”贝蒂对此颇感兴趣。　

　　“他第一个打电话来，”鲍勃回答，“他把多哥的帽子拿走了。”　

　　这真是一次十足的聚会！试问，乔和史蒂夫拿走了谁的大衣和帽子？

　　吉姆自己这样做后，其他的男孩也都照着做。这里总共只有三种颜色的弹子，而且盒子里弹子的数量也刚好够大家拿。　

　　“我们大伙拿法全都不一样！”乔观察了一下大家拿出的弹子说道。“只有我有四个蓝的！”　

　　“那又怎么样？”皮特发现自己在地下掉了一个绿色的弹子，于是把它捡了起来，“让我们玩吧！”　

　　于是他们开始玩起弹子的游戏。　

　　这里总共有２６个红色的弹子。试问这里有多少个男孩呢？

素数算式

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　　“卖鸡蛋的某妇人，让她三个女儿去市场出售她的９０个鸡蛋。她给了最聪明的大女儿１０个鸡蛋，给了二女儿３０个鸡蛋，小女儿５０个鸡蛋，对她们说：

　　——你们先商量好售价，然后就不要让步。你们都得坚持同样的价钱，但我希望我的大女儿运用她的智慧即便是按照你们共同商定的价钱，仍能把她自己那１０个鸡蛋卖出二姑娘卖掉她那３０个鸡蛋时的钱，并教会二姑娘把她那３０个鸡蛋卖出三姑娘那５０个鸡蛋卖出的钱。要使三个人的进项和售价彼此相同。还有，我希望你们卖蛋时按大数计不要低于每１０个蛋１０分钱，全部９０个鸡蛋不低丁９０分亦即不低于３０阿尔登。

　　我在这里把贝涅吉克托夫的故事打断，好让读者单独思考：三位姑娘是怎样完成她们的任务的？

　　“这个题目确是很伤脑筋。三位姑娘在去市场的路上边走边商量。后来，二姑娘，三姑娘都请大姐出主意，大姐想了想，说：

　　——妹妹们，咱们以前都是十个蛋十个蛋地出卖的，这次咱们不这样干，改成七个蛋七个蛋地卖。每七个蛋一份，咱们给每一份订一个价钱，按妈妈的嘱咐，咱们三个人都得遵守。是的，一分钱也不让价！每份卖一个阿尔登（３分），你们意见怎样？

　　那太便宜了，——二姑娘说。

　　可是我们把七个一份按份出售的鸡蛋卖完后，提高剩余各蛋的价钱呀！我已经注意到，今天市场上卖鸡蛋的除你我三人外，再无他人，因此，不会有人压低我们的价钱。

　　那么，剩下的这点宝货，只要有人急用，货又剩得不多了，价钱自然要上涨。咱们就是要在剩下的那几个蛋上赚回来。

　　——那么，剩下那几个蛋卖什么价钱呢？

　　——每个蛋卖３个阿尔登。给钱吧，就这个价钱，等蛋下锅的买主是会出这个价钱的。

　　——太贵了点，——又是二姑娘发言。

　　——那有什么，——大姐回答说，——可我们‘七个一份’的鸡蛋卖的不是太便宜吗？两者刚好抵消。

　　大家都同意了。

　　到了市场，姐妹三人各找地方坐了下来卖她们的鸡蛋。

　　买东西的男男女女，看到鸡蛋如此便宜，都跑到三姑娘那儿，她的５０个鸡蛋一下就被抢光了：她七个一份分做七份出售，卖了７个阿尔登，筐子里还剩下一个鸡蛋。二姑娘有３０个鸡蛋，七个一份地卖给了四个顾客，筐子里还剩下两个鸡蛋，赚了４个阿尔登。大姐则卖了一份七个的蛋，卖了１个阿尔登，剩下了３个蛋。

　　这时，市场上赶来了一位女厨师，是奉主妇之命来采购鸡蛋的，她的任务是必须买到１０只鸡蛋。原来，那位主妇的几个儿子回来探亲，都特别喜欢吃煎鸡蛋。女厨师在市场上转来转去，可鸡蛋都已卖光，卖鸡蛋的三个鸡蛋挑子上一共只剩下６个鸡蛋：一摊只有１个，另一摊只有２个，还有一摊只有３个。好吧，把这些都买来吧，

　　可以想见，女厨师首先跑到有３个蛋的摊子前面，这摊子正是以一个阿尔登出售她的唯一一份鸡蛋的摊子子。女厨师问道：——这三个鸡蛋卖多少钱？

　　那位回答说：——三个阿尔登一个，——你怎么啦？发疯啦？——那位则说：——随您的便，少一个钱也不卖。就这几个了。

　　女厨师跑到筐里只有两个鸡蛋的摊子邪里。

　　——什么价钱？

　　——三个阿尔登一个．不二价

　　——你这个鸡蛋卖多少钱？——女厨师问三姑娘。

　　——那位回答说：三个阿尔登，蛋都卖光了。

　　一点办法也没有。只好用前所未闻的价钱把蛋买下。

　　——把剩下的蛋都给我吧！　

　　于是，女厨师付了９个阿尔登给大姑娘，买下她的个鸡蛋。这样，连同原先卖出的１个阿尔登，大姑娘就一共卖了１０个阿尔登。二姑娘的两个鸡蛋拿到了６个阿尔登，连同以前卖四份鸡蛋的４个阿尔登共得了１０个阿尔登。三姑娘剩下的一个蛋卖了３个阿尔登，加上以前卖七份鸡蛋的７个阿尔登，一共也拿到了１０个阿尔登。

　　三姐妹回到家里，每人交了１０个阿尔登绐妈妈，向妈妈讲述她们是怎样卖法，而且是怎样在价钱上遵守着共同的条件，达到了不论是１０个鸡蛋还是５０个鸡蛋都卖出同样钱数的目的。

　　妈妈非常满意三个女儿如此准确地完成了她交给的任务，更为大女儿的智力感到高兴。而最使她高兴的是，女儿的总收入３０阿尔登（或９０分钱）完全满足了她的愿望。

水和酒

作者：[苏]Я·И·别莱利曼

　　是第一个瓶子里的水多呢，还是第二个瓶里的酒多？

一杯豌豆

作者：[苏]Я·И·别莱利曼

　　如果把这根串有豆粒的线拉直，它大约会有多长？

掷色子

作者：[苏]Я·И·别莱利曼

一颗色子是一个六面体，六个面上分别刻有１—６六个点。

　　小李打赌说，如果连续掷色子四次，那么，这四次中必定有一次是“一点”（即一个点的面向上）。

　　小王则认为：连续掷四次，要么一次“一点”也没有，要么“一点”出现的次数多于１。

　　他们二人谁有更大的可能获胜？

树叶

作者：[苏]Я·И·别莱利曼

　如果把一株老树（例如老菩提树）的叶子全摘下来，排成—行，中间不留空隙，那么，这行树叶大约将有多长？够不够（举例来说）绕大型住宅一周？

一百万步

作者：[苏]Я·И·别莱利曼

你当然知道“一百万”是什么，也知道自己走步的长度。你既然两者都知道，就应不难回答下列问题：走出——百万步后，你将走出多远？比１０公里多些？还是少些？

立方米

作者：[苏]Я·И·别莱利曼

　　——要比巴黎艾菲尔铁塔（高３００米）还高！———一位小学生回答说。

　　——比蒙布兰（高５公里）还高！——另一个回答。

　　他二人谁错得更多些？

谁更多些

作者：[苏]Я·И·别莱利曼

　　谁数的行人更多些？

师生

作者：[苏]Я·И·别莱利曼

　　款德尔学完了全部课程。普洛塔赫尔在等待学生的报酬，但学生却不急于出庭辩护。怎么办呢？老师为了想从学生身上讨还债务，向法院提出了控诉。他这样想：原告＜他自己）的官司如果赢了，法院就会判决罚款给他；原告如果输了，即被告（学生）打赢了，那么，款德尔也得付款给他，因为，根据师生二人之间的约定。学生应在第一次诉讼胜利后付给报酬。

　　可是，学生则相反，他认为普洛堪赫尔德诉讼是完全没有获胜希望的。看来他确是从他的老师那里学到了一些本领，他这样想：如果法庭判他付款，那么他根据二人的约定就不应支付这笔费用，因为他在第一次诉讼中遭到了失败；如果判决对被告有利，那么，根据法庭的判决，他就没有付款的义务。

　　开庭的日子到了。法官感到十分为难。可是，经过一番思考之后，他想出了解决问题的好办法，做出了判决，法官是怎样判决的呢？

遗产

作者：[苏]Я·И·别莱利曼

　　一位寡妇．要把她丈夫遗留下来的３，５００元遗产同她即将生产的孩子一起分配。生的如果是儿子，那么，按照罗马的法律。做母亲的应分得儿子份额的一半，生的如果是女儿，做母亲的就应分得女儿份额的两倍。可发生的事情是：生了一对双胞胎——一男一女。

　　遗产应怎样分配，才符合法律要求呢？

房间怎样分配

作者：[苏]Я·И·别莱利曼

　　他的主意是，把第１位客人安排在第一间房间，请他同意让第１１位客人暂时（五分钟左右）也在他房间里呆一下。这两位客人安排好后，他把其他客人逐一分配到其他各号房间去；

　　把第３位客人分配到２号房，

　　把第４位客人分配到３号房，

　　把第５位客人分配到４号房，

　　把第６位客人分配到５号房，

　　把第７位客人分配到６号房，

　　把第８位客人分配到７号房，

　　把第９位客人分配到８号房，

　　把第１０位客人分配到９号房。

　　这时第１０号房间还空着，他就把暂时呆在１号房的第１１位客人请了过来，满足了全体旅客的要求，同付，想必也引起了本书许多读者的惊奇。

　　这里问题何在呢？

两支蜡烛

作者：[苏]Я·И·别莱利曼

房间里电灯突然熄灭：保险丝烧断了。我点燃了书桌里备用的两支蜡烛，在蜡烛光下继续做我的事，直到电灯修好。

　　第二天，需要确定昨晚断电共有多长时间。我当时没有注意断电开始的时刻，也没有注意是什么时候来的电。我也不知道蜡烛的原始长度。我只记得两支蜡烛是一样长短的，但粗细不同，其中粗的一支能用５小时（完全用完），细的一支４个小时用完。两支蜡烛都是经我点燃的新烛。我没找到蜡烛的剩余部分，——家里人把它扔掉了。

　　－－残烛几乎都烧光了，已不值得保留，——家里人这样回答。

　　－－你能记得残余部分有多长吗？

　　－－两支蜡烛不一样。一支残烛的长度等于另一支残烛的四倍。

　　我无法知道得更多了，只好以上述资料为限，据以算出蜡烛的点燃时间。

　　如果是你，你应该怎样摆脱这个困境？

三个侦察兵

作者：[苏]Я·И·别莱利曼

有一次，三位侦祭兵在徒步行进中必须过河到对岸，但没有桥，对他们来说这是一件难办的事。是的，河上有两个孩子在划一只小船他们想帮助侦察兵。可是船太小了，只能承载一名侦察兵，如再加上一个孩子就会把小船弄沉。而三位侦察兵都不会游泳。

　　看来，在这样条件下，就只能有一名战士乘小船渡到对岸去。可事实却是，三名战土都很快地顺利到达了对岸，并把小朋交还给了孩子们。

　　他们是怎样做的呢？

牛群

作者：[苏]Я·И·别莱利曼

　　一个人，把一群牛分给他的儿子们。给长子的是一头牛又余数的１／７，给次子的是二头牛又余数的１／７，给第三个儿子三头牛又余数的１／７，给第四个儿子四头牛又余数的１／７，如此类推。他就这样，把整个牛群一点不剩地分配给了他的儿子们，

　　他有几个儿子，有多少头牛？

平方米

作者：[苏]Я·И·别莱利曼

　　－－哪有那么多？　－他奇怪了。－－我这里有一张印有毫米方格的纸，纸的长宽各一米。难道在这么一张纸上就有一百万个平方毫米的小方格？说什么我也不相信！

　　——那你数数看，—一有人对他说。

　　小安下决心把全部小格子都数一遍。他一大早就爬起来数，把每个数过的小格子整整齐齐地点上——个逗号。点一个格子花了一秒钟。工作进展得很顺利，很迅速。

　　小安头也不抬地数下去。可是，你怎么想呢，他在这一天内肯定了一平方米确实含有一百万个平方毫米吗？

一百个核桃

作者：[苏]Я·И·别莱利曼

　　你能做到吗？

怎样分配

作者：[苏]Я·И·别莱利曼

　　两友人应当怎样分配这笔饭钱？

苹果怎样分法

作者：[苏]Я·И·别莱利曼

　　小咪的爸爸是怎样做的呢？

伪币

有十枚硬币，其中一枚是伪币而且不知道轻重，现有天平一只，请问要找出这枚伪币最少要秤几次？如何秤？

丈夫和妻子

作者：[苏]Я·И·别莱利曼

　　问：这样就座可以有几种方法？假如只注意各人座位的顺序，而不把同样顺序但坐在不同地方的方法数计算在内的话。

等电车

作者：[苏]Я·И·别莱利曼

　　——干嘛在这儿等着，——老二说，——还不如往前走呢！等车赶上咱们再跳上去，等的时间已经可以走出一段路程了，这样可以早点到家。

　　——要是走，——弟弟反对说，——那就不要往前走，而往后走，这样我们就可更快地遇到迎面开来的车子，咱们也就可以早点到家。

　　兄弟三人谁也不能说服别人，只好各走各的：大哥留在车站等车，老二顺着车行方向向前走去；弟弟则向后走去。

　　哥儿三个谁先回到家里？谁做的最聪明？

　　0、1、2、游玩记（22）——游乐场里的游戏

文/张淞源

　　这天，0、1、2、3、4、5、小数点来到游乐场里玩。

　　来到一个小摊前,一个小摊主拉拢道：“各位先生，我这里有游戏，只要交钱，并且答对题目，就有机会赢100元钱。干不干？”

　　“好啊！”0、1和2都很愿意，异口同声地说，“可是怎么个玩法？”

　　摊主说：“先交10元押金。”

　　3拿出10元交给他。

　　摊主看了半天真假，才说：“请听题：

　　‘（1）算24点

　　①3、3、7、7②5、10、7、9③6、6、6、6④8、3、8、3

　　（2）巧算

　　①636十999×999十363

　　②234×5.67+2.34×405+2.8×23.4’”

　　3说：“（1）3、3、7、7：3！×（7÷7+3）=24。5、10、7、9：（10-7）×5+9=24。6、6、6、6：6×6-6-6=24。8、3、8、3：√（8×8×3×3）=24。”

　　2也不甘示弱：“（2）

　　636十999×999十363

　　=999×999+（636+363）

　　=999×999+999

　　=999×（999+1）

　　=999×1000

　　=999000

　　234×5.67+2.34×405+2.8×23.4

　　=23.4×56.7+23.4×40.5+2.8×23.4

　　=23.4×(56.7+40.5+2.8)

　　=23.4×100

　　=2340”

　　摊主无可奈何，心想今日遇见高人，只好退还给0、1、2、3、4、5、小数点110元钱。

　　0、1、2、3、4、5、小数点欢呼起来：“我们赢了！”“太好了。”“真棒！”

　　0、1、2游玩记（23）——世界上最简单的题

　　一天，0、1、2、3、4、5、小数点又在一起讨论了。

　　0首先说：“今天呢，我们比谁能出世界上最简单的题，但又能把别人考住。好不好？”

　　“好呀好呀!”大家异口同声的说。

　　“我来说一个。”3抢着说，“世界上所有数的乘积是多少？”

　　“这个，这个还真不好说。”2思索了一会，说。

　　“哎呀！这么简单。”1手一挥，“0乘任何数都是0，答案是0.”

　　2一拍脑袋说：“对，怎么忘了？”

　　4接着说：“请问，所有的质数之积是多少？”

　　1挠着脑袋：“我正想问这个，哎呀，想不起来答案了！”

　　这个问题可真“难”，所有的人都陷入了沉思。

　　突然，小数点大笑起来：“知道了，知道了。你们看，质数中有2和5，2乘5等于10。末尾肯定是0.”其他人听了这话，也都豁然开朗了。

　　0也插了一句：“我也出一道题吧：‘1的100次方是几？’”

　　5只听见了“100次方”，所以一下子叫了起来：“啊！100次方，不可能算出来。”

　　小数点笑着说：“你可真沉不住气。1的多少次方也是1呀！1的100次方当然是1了。”

　　5的脸红得像关公。

　　0总结道：“今天，4出的题目最简单而又最‘难’。所以今天的冠军是——4.”

　　大家都为他鼓掌。

　　哎，这些聪明的孩子们，明天不知道他们又在想什么问题了。

　　0、1、2游玩记（24）——金银两童子

　　一天，0、1、2、3、4、5、小数点早早的起了床，因为他们约定，今天早晨去森林游玩。

　　来到森林，只见那天空湛蓝，河水清澈，草木葱茏。不知不觉中，他们迷了路。

　　晚上到了，他们走到一个山洞前。

　　0说：“怎么办，我们只有在这山洞里住一晚上了。”

　　大家都同意。

　　于是，他们开始敲门。

　　万万没有料到，开门的是一个吃人的妖精。

　　可是0、1、2、3、4、5、小数点不知道，走了进去。

　　他们先自我介绍了一下，然后提出住宿，妖精答应了。

　　吃晚饭时，妖精叫醒了他的哥哥，然后拿出宝贝儿，叫了声：“0、1、2、3、4、5、小数点。”

　　0、1、2、3、4、5、小数点齐声答应：“在这里。”结果全被吸进了妖精的瓶子里。

　　原来，这就是西游记中的金角大王和银角大王。

　　正巧孙悟空从这儿走过，忙来到太上老君那里，叫太上老君收回这两个童子。

　　太上老君说：“只要你能算出我的一道题，就可以收回。”

　　孙悟空忙问：“什么题？”

　　“1、公共汽车共有男、女人数100人，到甲站后下车27个男人，9个女人，又上来3个男人，9个女人。车到乙站后，上来8个女人，这时车上的男人数正好是女人数的3倍，问原来男人比女人多多少人?

　　2、3辆大车与18辆小车一次共运货物48吨，而3辆大车与26辆小车一次可运货物64吨，求大车载重为小车载重量的多少倍?

　　3、小张、小李两人进行射击比赛，约定每中一发记20分，脱靶一发则扣12分，两人各打了10发，共得208分，其中小张比小李多64分，小张射中( )发，小李射中( )发。”

　　孙悟空不会算，抓了抓脑袋，想了一计，便到了观音菩萨那里。

　　菩萨笑了笑：“你这猴子，真笨，

　　我告诉你怎么解

　　1.（64-48）÷（26-18）=2（吨） 48-2×18=12（吨） 12÷3=4（吨） 4÷2=2
　　2.100-27-9+3+9+8=84（人）84÷（3+1）=21（人）84-21=63（人）
　　63-3+27-（21-8-9+9）=74（人）

　　3.（208-64）÷2=72 72+64=136
　　小李：10×20=200，20+12=32，(200-72)÷32=4（发），10-4=6（发）
　　小张：10×20=200，20+12=32，（200-136）÷32=2（发),10-2=8(发）”

　　孙悟空来到太上老君那儿，告诉了他，他一挥手，两童子来了，把0、1、2、3、4、5、小数点救出来了。0、1、2、3、4、5感谢孙悟空的救命之恩，孙悟空说：“不用谢！”

　　多少世纪来人们对幻方总是怀着浓厚的兴趣．从古代起幻方就跟某些超自然和魔术的领域相联系．在古代亚洲的城市，人们在考古挖掘中发现了它们．有关幻方的最早记录，是约于公元前2200年在中国出现的“洛书”．传说这个幻方最初是大禹在黄河岸边的一只神龟的背上看到的．

　　黑色的结表示偶数，白色的结表示奇数．在这个幻方里它的变幻常数(即任何一行、一列、或对角线上数字的和)为15．

　　在西方世界最早提到幻方的是公元130年伊士麦(现称士麦那，土耳其西部的一个港口城市——译者)的勒恩的著作．公元9世纪，幻方在占星学领域逐渐蔓延，阿拉伯占星家用它们来占星和算命．最后，大约公元1300年，通过希腊数学家莫斯切普罗的著作，幻方及其性质被传播到西半球(特别在文艺复兴时期)．

　　幻方的阶数是由幻方的行或列的数目来规定的．例如右图的幻方阶数为3，因为它有3行．

　　1)每行、每列及对角线上数的和为同一个数，这个数即变幻常数，能够通过以下方法之一获得：

　　2，3，…，n2构成的．

　　b)取任意大小的幻方并从左上角开始，沿着每一行依次写下连续的数．则每条对角线上数的和即为变幻常数．

　　2)任意两个与中心等距离的数(在同一行，同一列，或同一条对角线)互补．一个幻方的数互补是指它们的和是同样的，而且都等于该幻方最大数与最小数的和．

　　3)把一个幻方的每一个数同时加上或乘以任一确定的数，所得的依然是一个幻方．

　　4)如果把与中心等距离的两行及两列交换，所得结果还是幻方．

　　5)a)在一个偶数阶幻方里交换两个象限，所得结果仍为幻方．

　　b)在一个奇数阶的幻方里交换适当的象限和行，所得结果仍为幻方．

　　关于幻方的论述比其他娱乐数学的课题都要多．B·富兰克林(Benjamin Franklin)花了很多时间用在设计幻方上．构造5阶幻方具有相当的挑战性(即用头25个自然数组成5×5方阵，使得每行、每列和每条对角线上数的和是同样的)．行数和列数为奇数的幻方称奇数阶幻方；如果行数和列数是偶数则为偶数阶幻方．偶数阶幻方的一般性构造方法人们仍在探求．但另一方面，却已有不少的方法可以构造任意大小的奇数阶幻方．其中劳伯尔(La Loubere)发明的楼梯法，在幻方热心者中最为知名．上图说明了如何用这种方法构造一个3×3幻方．

　　1)从位于顶行中央的小方格的数字1开始．

　　2s)下一个数放在位于右上对角的小方格里，除非该格已被占据．如果下一个数落在幻方所在框架外头想象的小方格里，那就必须在你的幻方中找出安放它的位置，这个位置在你的幻方中与想象的方格处于对等的部位．

　　3)如果你的幻方中，原拟放下一个数(右上角)的小格已被占据，则可以直接将此数写在原数下面的小格内．例如图示中的数4和7．

　　4)继续(2)和(3)的步骤，直到幻方剩下的数都各得其所．

　　现在我们尝试用楼梯法来构造5×5幻方(用头25个自然数)．检验一下方法中那些使得幻方改变的环节，看看它们是怎样运作的．

(对于3×3幻方)

　　例如：对角线方法只用于4×4幻方．

　　由自然方阵(一个按行依次写下连续数的方阵)开始．如果某数位于对角线上，则必须与它的互补数交换位置．

　　用一个4×4的幻方，通过适当的行或者列的交换，使得结果仍是幻方．如果适当交换象限，结果也还会是幻方．

     逻辑是数学的一大支柱，不会逻辑推理很难学好数学，下面我们就一具体事例说明这一问题：“现有张三、李四、王五三人，张三说李四在说谎，李四说王五在说谎，王五说张三和李四都在说谎.请问：张三、李四、王五谁在说谎?谁说的是真话?”

该问题看起来复杂，但若把它变为数学问题，则清晰多了.

设张三为A、李四为B、王五为C，说真话为1，说谎话为0.

(Ⅰ)若A=1,即张三说真话.

由于张三说：“李四在说谎”可推知B=0.

而李四说：“王五在说谎”，但B=0，李四说假话，则王五说的真话C=1；

由于王五说：“张三和李四都在说谎”，可知A=0，B=0与A=1矛盾.

则A=1时问题无解.

(Ⅱ)若张三说假话，即A=0.

由于张三说：“李四在说谎”，可知李四说真话，即B=1；

李四说：“王五在说谎”知C=0

由于王五说：“张三和李四都说谎”，而C=0，可得A=1，B=1或A=0，B=1，或A=1，B=0.只要这三种情况有一种成立，都可说明王五说的张三、李四全都说谎是假的，因在这三种情况中至少有一个人说的是真话.由这三种情况可以挑选出A=0，B=1，C=0符合要求.

结论：张三、王五说假话，李四说真话.

利用逻辑推理进行判断的题目，形式可以多种多样，请看下面问题：

“某次会议有100人参加，参加会议的每个人都可能是诚实的，也可能是虚伪的，现在知道下面两项事实：

(1)这100人中，至少有1名是诚实的.

(2)其中任何两人中，至少有一名是虚伪的.

请你判断：有多少名诚实的?多少名虚伪的?”

既然参加会议的人至少有一名是诚实的，就让这名诚实者与其余99人中每人组成一对，根据“任何两人中，至少有一名是虚伪的”，可以推知剩下的99人都是虚伪的.

结论：1名诚实的，99名虚伪的.

　人的相貌可以遗传。同样数字也可以遗传做平方运算时，数字也可以遗传。例如

　　5²=25，

　　25²=625。

　　在以上两个等式中：

　　5和它的平方25，最后一位数字一模一样（一位遗传）；

　　25和它的平方625，最后两位数字一模一样（两位遗传）。

　　有没有位数更多的遗传现象呢？下面一串等式提供了三位、四位、五位和六位遗传现象的例子。

　　625²=390625，

　　0625²=390625，

　　90625²=8212890625，

　　890625²=793212890625。

　　严格说来，0625不能算是四位数，只能看成四位密码锁上的一个号码。但是它的平方确实把这四位号码完全保留在平方数的尾部。况且，把0625也算在里面，还有一个好处，就是保持了演变的连续性：上面这些等式左边的数，按照位数从少到多，顺次是5，25，625，0625，90625，890625。

　　这是一个在平方运算下具有数字遗传特性的家族。从这一列数中的每个数要得到它后面相邻的数，只需在原数前面加上一个适当的数字；反过来，要得到这列数中某个数前面相邻的数，只需划去原数最前面一位的数字。只要记下这列数中有一个数是890625，把它的数字从前往后顺次一个一个地划掉，就得到前面几个数了。

　　下面是另外一组有遗传特性的数：

　　6²=36，

　　76²=5776，

　　376²=141376，